2項分布の期待値・分散の求め方（定義から）

$\begin{align}E[X]=\sum_{k=0}^n k \begin{pmatrix}n \\k \\\end{pmatrix} p^k q^{n-k}&= \sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k q^{n-k} \\&= \sum_{j=0}^{n-1} \frac{n!}{(j)!(n-(j+1))!} p^{j+1} q^{n-(j+1)} \\&= np \sum_{j=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{(j)!((n-1)-j)!} p^{j} q^{(n-1)-j}\\&=np (p+q)^{n-1}=np\end{align}$

$k-1=j$ とおいて、二項定理を用いています。

このように変形することによって二項分布の期待値は $np$ であることがわかります。

分散も同様に

$\begin{align}E[X(X-1)]&=\sum_{k=0}^n k(k-1) \begin{pmatrix}n \\k \\\end{pmatrix} p^k q^{n-k} \\ &=\sum_{k=2}^n \frac{n!}{(k-2)!(n-k)!} p^k q^{n-k} \\&= \sum_{j=0}^{n-2} \frac{n!}{(j)!(n-(j+2))!} p^{j+2} q^{n-(j+2)} \\&= n(n-1)p^2 \sum_{j=0}^{n-2} \frac{(n-2)!}{(j)!((n-2)-j)!} p^{j} q^{(n-2)-j}\\&=n(n-1)p^2 (p+q)^{n-2}=n(n-1)p^2\end{align}$