統計学実践ワークブック１章問1.2を解説します。

問題概要
解説

問題概要

6つの面があるサイコロに1,2,3のどれかが書いてあり、何個書いてあるかはわからないが、1,2の数が同じことだけわかっている。また期待値は2より大きい。それぞれサイコロの各面が出る確率は等しく1/6である。

解説

⑴

$X$	1	2	3
$P(X)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{4}{6}$
$P(X)$	$\frac{2}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{2}{6}$

１つ目の可能性では、 $E[X]=\frac{1}{6}+2 \times \frac{1}{6}+3 \times \frac{4}{6}=\frac{15}{6}$ になる。

2つ目の可能性では、 $E[X]=\frac{2}{6}+2 \times \frac{2}{6}+3 \times \frac{2}{6}=\frac{12}{6}$ になる。

期待値は $2$ 以上であるため、１つ目の方になる。

$E[X^2]=\frac{1}{6}+2^2 \times \frac{1}{6}+3^2 \times \frac{4}{6}=\frac{41}{6}$ であるため、 $Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=\frac{41}{6}-\frac{25}{4}=\frac{7}{12}$ になる。

⑵

( $X_1$ , $X_2$ )	$Y$	$P(Y)$
(1,1)	1	$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$
(1,2)	2	$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times 2$
(1,3)	3	$\frac{1}{6} \times \frac{4}{6} \times 2$
(2,2)	2	$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$
(2,3)	3	$\frac{1}{6} \times \frac{4}{6} \times 2$
(3,3)	3	$\frac{4}{6} \times \frac{4}{6}$