統計学実践ワークブック１章問1.3解説

統計検定準１級

統計検定準１級用

2024.12.29

目次

問題概要
解説

問題概要

$A$ ：病気にかかっている

$B$ ：検査1で陽性

$C$ ：検査2で陽性

$P(A)=\frac{1}{100}$ 、 $P(B|A)=\frac{99}{100}$ 、 $P(B|A^c)=\frac{2}{100}$ 、 $P(C|A\cap B)= \frac{9}{10}$ 、 $P(C|A^c \cap B)=\frac{1}{10}$ である。

⑴ $P(A|B)$ を求めよ

⑵ $P(A|B \cap C)$ を求めよ。

解説

⑴

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ である。

$P(A \cap B)=P(B|A)\times P(A)=\frac{99}{100} \times \frac{1}{100} = \frac{99}{10^4}$

$P(A^c \cap B)=P(B|A^c)\times P(A^c)=\frac{2}{100} \times \frac{99}{100} = \frac{99\times 2}{10^4}$

$P(B)=P(A \cap B)+P(A^c \cap B)=\frac{99}{10^4}+\frac{99\times 2}{10^4}=\frac{99\times 3}{10^4}$

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{99}{10^4} }{\frac{99\times 3}{10^4}}=\frac{1}{3}$ である。

⑵

$P(A|B \cap C)=\frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)}$ である。

$P(A \cap B \cap C)=P(C|A \cap B)\times P(A \cap B)=\frac{9}{10} \times \frac{99}{10^4} = \frac{99\times 9}{10^5}$

$P(A^c \cap B \cap C)=P(C|A^c \cap B)\times P(A^c \cap B)=\frac{1}{10} \times \frac{99 \times 2}{10^4} = \frac{99\times 2}{10^5}$

$P(B \cap C)= P(A \cap B \cap C)+P(A^c\cap B\cap C)=\frac{99 \times 11}{10^5}$

$P(A|B \cap C)=\frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)}=\frac{9}{11}$ である。

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