ガンマ分布の積率母関数の求め方

ガンマ分布の積率母関数

$X \sim Ga(\alpha,\beta)$ があるとき、積率母関数は $M_X(t)=(1-\beta t)^{-\alpha}$ である。

求め方
積率母関数から期待値と分散を求める方法

求め方

$\begin{align}M_X(t)=E[e^{tX}]&= \int^{\infty}_0 e^{tx} \frac{x^{\alpha -1 } e^{-\frac{x}{\beta}}}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} dx　\\&= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}\int^{\infty}_0 x^{\alpha -1 } e^{-\frac{(1-\beta t)x}{\beta}} dx \\&= \frac{\Gamma(\alpha)(\frac{\beta}{1-\beta t})^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} \\&=(1-\beta t)^{-\alpha}\end{align}$

積率母関数から期待値と分散を求める方法

$\begin{align}M'_X(t)&=(-\alpha) (-\beta)(1-\beta t)^{-\alpha-1}=\alpha \beta(1-\beta t)^{-\alpha-1} \\M''_X(t)&=(-\alpha -1) (-\beta)\alpha \beta(1-\beta t)^{-\alpha-2}=\alpha(\alpha +1) \beta^2(1-\beta t)^{-\alpha-2}\end{align}$

$\begin{align}E[X]&=M'_X(0)=\alpha \beta \\E[X^2]&=M''_X(0)=\alpha(\alpha +1) \beta^2 \\Var(X)&=E[X^2]-(E[X])^2=\alpha(\alpha +1) \beta^2 -\alpha^2\beta^2 =\alpha\beta^2\end{align}$